Facharbeiten

Interpolierende Splines - mathematische Grundlagen und praktische Anwendung

Schüler: Max Sauerbrey

betreuende Lehrkraft: J.Petry (M, If)

 

Zusammenfassung:

"Es kommt in vielen Bereichen der Technik vor, dass einen Datensatz von Punktpaaren geliefert wird und eine glatte Kurve durch diese Punkte gefragt ist. Zum Beispiel wenn man ein Objekt erfasst hat (anhand eines Punkterasters) und will nun einen glatten Verlauf erkennen. Hierzu kann man beispielsweise lineare Interpolation benutzen, was aber nicht sehr schön aussieht und vor allem nicht wirklich glatt ist. Andererseits kann man Polynome durch die Punkte legen. Bei vielen Punkten werden diese jedoch enorm groß und umständlich zu handhaben. Bei 1000 Punkten etwa, wäre unter schlechten Umständen ein Polynom 999.Grades erforderlich. Einen einfachen Ausweg bietet die Spline- Interpolation. Hier kann man schon mit Polynomen maximal 3.Grades eine ausreichend glatte Kurve erhalten und sogar noch weitere Anforderungen an den Graphen stellen. Splines sind nämlich abschnittsweise Polynome. Die Abschnitte ergeben sich aus den Intervallen der Stützstellen des Datensatzes. Nun kann und soll ein Spline n-ter Ordnung, also bestehend aus Polynomen mit Grad ≤n, auch (n-1)-mal stetig-differenzierbar sein. Um nun einen Spline 3.Ordnung für einen Datensatz von n Punktepaaren zu finden gilt es ein Gleichungssystem mit n Variablen (nämlich den zweiten Ableitungen in den Stützstellen) zu lösen. Sind diese gefunden lassen sich aus ihnen und den Datenpaaren die abschnittsweisen Polynome errechnen.“

 

Erlkönig1

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Foto: Mit freundlicher Genehmigung von Herr Thomas Geiger

 


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